双曲线上三角形面积公式

1. 双曲线焦点三角形面积公式的推导：

设∠F₁PF₂ = α，双曲线方程为 x²/a² - y²/b² = 1。

因为点 P 在双曲线上，根据定义可得|PF₁ - PF₂| = 2a。

在焦点三角形中，依据余弦定理，有 F₁F₂² = PF₁² + PF₂² - 2PF₁PF₂cosα = |PF₁ - PF₂|² + 2PF₁PF₂ - 2PF₁PF₂cosα。

即(2c)² = (2a)² + 2PF₁PF₂ - 2PF₁PF₂cosα，可得 PF₁PF₂ = [(2c)² - (2a)²] / [2(1 - cosα)] = 2b² / (1 - cosα)。

那么焦点三角形的面积公式为：1/2 PF₁PF₂sinα = b²sinα / (1 - cosα) = b²cot(α/2) = b² / tan（θ/2）。

2. 双曲线焦点三角形的内切圆与 F₁F₂相切于实轴顶点。当 P 点在双曲线左支时，切点为左顶点；当 P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。